Zadatak: 20. ODBIJANJE LOPTE OD PODLOGE (EXP)

U Zadatku 15 smo proučavali neelastično odbijanja lopte (ili nekog drugog tijela) od podloge, tj. odbijanje uz gubitak energije. Pri tom smo uveli jedan parametar $\lambda$, kojim smo označili omjer brzine lopte neposredno poslije (v_{n + 1}) i prije (v_n) udarca o tlo, v_{n + 1} = $\lambda$v_n. Parametar $\lambda$ se dakle može shvatiti kao faktor `gubitka' brzine, te se njegova vrijednost nalazi u intervalu 0 $\leq$ $\lambda$ $\leq$ 1.

Pokušajmo provjeriti da li ovakav fizikalni model može opisati realnu situaciju. U tu svrhu, načinimo eksperiment - za njega će vam trebati dobro napumpana lopta (npr. nogometna) ili kuglica od, recimo, čelika ili drveta. Bitno je da se lopta ili kuglica dovoljno puta (više od 7-8 puta) odbije od podloge nakon ispuštanja. To ujedno znači da i podloga treba biti tvrda. Npr., moguće su kombinacije kuglice od čelika koja se odbija od keramičkih pločica, ili od čelične ploče, ili tvrdog drveta. Medjutim, valja paziti i na to da lopta ili kuglica ne budu prelagane - u protivnom značajan utjecaj na gibanje može imati trenje sa zrakom.

Načinite slijedeće:

• Izaberite visinu h₀ s koje ćete puštati loptu ili kuglicu (u daljnjem tekstu:kuglica). Po mogućnosti neka ta visina bude oko 1 metar, a svakako veća od pola metra.
• U ovom eksperimentu potrebno je mjeriti niz od pet, šest, pa i više vremenskih intervala u nizu, što nije moguće s običnom štopericom. No, budući da vjerojatno posjedujete računalo, možete napisati mali program koji će registrirati svaki pritisak na neku tipku i zabilježiti pripadno vrijeme. (U Primjeru je dan jedan takav program, pisan u QBASICu.)
• Kako bismo provjerili fizikalni model, izmjerit ćemo vremena t₁, t₂, t₃,..., vremena prvog, drugog, trećeg ... udarca kuglice o tlo. U tu svrhu, ispustite lopticu s visine h₀ te izmjerite pripadna vremena pri svakom udarcu o tlo. Zabilježite koliko je god moguće više vremena. S obzirom da će razmaci izmedju udaraca o tlo biti kratki, možda ćete trebati ponoviti postupak desetak ili više puta, prije nego mjerenja budu zadovoljavajuća. Zamolite nekog da vam pomogne, recimo, da ispušta lopticu. Ako se razumijete u elektroniku, načinite elekotronički sklop s kojim će se moći registrirati zvuk udarca o podlogu. Taj sklop priključite na računalo (npr. na `paralelni' ili `serijski port'), te napišite program koji će registrirati vremena kada sklop 'čuje' zvuk.
• Načinite tablicu s 3 stupca:

  n	$\tau_{n}^{}$	$\tau_{n}^{}$$\sqrt{\displaystyle\frac{g}{2h_0}}$
  1	0
  2
  3
  &vellip#vdots;

  U prvom stupcu je broj udarca (1-prvi udarac nakon ispuštanja, 2-drugi udarac nakon ispuštanja, ...). U drugi stupac upišite izmjerene vrijednost vremena proteklog od prvog udarca o tlo (prvi podatak u tom stupcu je zato jednak 0). Treći stupac popunite s izračunatim vrijednostima, pomoću drugog stupca i visine s koje ste ispuštali kuglicu h₀ (g = 9.81 m/s²). Nacrtajte graf na kojem ćete na x-os nanositi vrijednost iz prvog stupca, a na y-os vrijednosti iz trećeg stupca.
• Izvedimo sada izraz za $\tau_{n}^{}$. Ako preuzmemo oznake iz Zadatka 15. onda je po definiciji:
  $$\tau_{n}^{}$$ = T_n - $$\sqrt{\frac{2h_0}{g}}$$
  Uvrstimo izraz za T_n:
  

  $$\tau_{n}^{} \sqrt{\frac{2h_0}{g}} {\frac{1+\lambda-2\lambda^n}{1-\lambda}} \sqrt{\frac{2h_0}{g}}$$ =

  $$\sqrt{\frac{2h_0}{g}} \left(\vphantom{\frac{1+\lambda-2\lambda^n}{1-\lambda} - 1}\right. {\frac{1+\lambda-2\lambda^n}{1-\lambda}} \left.\vphantom{\frac{1+\lambda-2\lambda^n}{1-\lambda} - 1}\right)$$ =

  $$\sqrt{\frac{2h_0}{g}} {\frac{2\lambda-\lambda^n}{1-\lambda}}$$ =

  $$\sqrt{\frac{2h_0}{g}} \lambda {\frac{1-\lambda^{n-1}}{1-\lambda}}$$ =

  
  
  Ovo se još može pisati i kao:
  $$\tau_{n}^{}$$$$\sqrt{\frac{g}{2h_0}}$$ = 2$$\lambda$$$${\frac{1-\lambda^{n-1}}{1-\lambda}}$$
  što je upravo razlog zašto smo i uopće uveli i crtali treći stupac u tablici. Naime, ako lijevi stranu gornje jednadžbe označimo s y, a n s x, imamo:
  y = y(x) = 2$$\lambda$$$${\frac{1-\lambda^{x-1}}{1-\lambda}}$$
  tj. naše točke na grafu bi trebale slijediti gornju funkciju, s pravilno odabranim $\lambda$.
• Sada treba pogoditi parametar $\lambda$ tako da funkcija y = y(x) najbolje slijedi eksperimentalno odredjene točke. Nažalost, jedini jednostavniji način jest upravo pogadjanje: odaberite jednu vrijednost (recimo $\lambda$ = 0.7) i na istom grafu na kojem ste nacrtali eksperimentalne točke, nacrtajte i nekoliko točaka funkcije y = y(x). Ponavljajte to s različitim vrijednostima $\lambda$ sve dok ne dobijete razumno slaganje izmjerenih točaka i funkcije. I tu vam može pomoći računalo ...
• Ako ste eksperiment pažljivo izveli, krivulja funkcije y = y(x) bi se trebala razmjerno dobro slagati s izmjerenim vrijednostima. Kao konačnu provjeru slaganja fizikalnog modela i `realnosti', ispustite lopticu s visine h₀ i izmjerite vrijeme od njena ispuštanja pa do potpunog zaustavljanja. To bi se trebalo približno slagati s vrijednošću dobivenom uvrštavanjem $\lambda$ u izraz za T:
  T = $$\sqrt{\frac{2h_0}{g}}$$ $${\frac{1+\lambda}{1-\lambda}}$$

[Rješenje]