Zadatak: 18. KAZETOFONI (EXP)

U Zadatku 17 smo proračunali kako ovisi proteklo vrijeme T_N o broju N koji pokazuje brojač na kazetofonu (ili video uredjaju), te smo dobili:

$$T_N = \frac{\pi}{v_0} \left[ D + d\left( (N/m)-1 \right) \right] \cdot (N/m)$$

Ovdje je v₀ brzina kojom magnetska traka prelazi preko magnetske glave kazetofona, D je promjer plastičnog kotačića unutar kazete, d debljina trake, a m broj za koji se promijeni brojač pri jednom okretu `prednjeg' kotačića kazete.

Od četiri konstante koje ulaze u gornji izraz, jedna je poznata (v₀=4.75 cm/s), jedna se može jednostavno odrediti (vrijednost za m se može odrediti tako da se prati broj okretaja kotačića u kazeti i promjena broja na brojaču - njihov odnos je u pravilu cjelobrojan i najčešće iznosi 2:1, 1:1 ili 1:2). Vrijednost za D se rastavljanjem kazete još i može izmjeriti, ali za debljinu trake d bi vam trebao posebni uredjaj koji mjeri vrlo male dimenzije.

Moguć je i drugi pristup, uzmemo li da su v₀ i m poznati. Kako imamo dva nepoznata parametra, uvrštavanjem dva para izmjerenih vrijednosti (N₁, T_N1) i (N₂, T_N2), dat će sistem od dvije jednadžbe s dvije nepoznanice, D i d, iz kojih se onda one mogu odrediti. `Mana' ovog pristupa je dvojaka: kao prvo, srazmjerno mala pogreška u izmjerenim vrijednostima (N₁, T_N1) i (N₂, T_N2) može znatno povećati pogrešku izračunatih vrijednosti D i d. Kao drugo, ovim pristupom mi a priori vjerujemo da izvedeni izraz za T_N zadovoljavajuće opisuje proces koji proučavamo.

Pažljiviji čitatelj će uočiti da i prvu i drugu pretpostavku možemo osigurati/provjeriti tako da uzmemo više parova vrijednosti (N_i, T_i), i=1, 2, ..., n, te za svake dvije vrijednosti rješimo sistem od dvije jednadžbe s dvije nepoznanice. Time dobivamo više vrijednosti za D i d koje bi se, ako smo dovoljno točno mjerili i ako je izraz T_N korektan, trebale slagati (tj. biti približno jednake). Upravo ćemo ovaj postupak, samo sistematiziraniji (možemo reći `tako to rade fizičari'), pokazati i upotrijebiti da bismo našli što preciznije vrijednosti za D i d.

Načinite slijedeće:

1.

Načinite tablicu s 5 stupaca kao na slici:

N	TN	N/m	(N/m)-1	$$\frac{T_N}{(N/m)}$$
50
75
100
$\vdots$
275

U prvi stupac upišite deset vrijednost brojača za koje ćete mjeriti vrijeme T_N. Neka te vrijednost odgovaraju vremenskim intervalima od najmanje pola minute, a prva vrijednost neka odgovara vremenu od, najmanje, 2 minute. S druge strane, neka maksimalni N ne bude preveliki - ne veći od 10 minuta. Takodjer, nije nužno da medjusoba razlika medju svim N-ovima bude ista.

2.

Odredite m tako da pratite broj okretaja kotačića u kazeti i promjenu broja na brojaču.

3.

Premotajte kazetu na početak, postavite brojač na `0'. Izmjerite i upišite u tablicu pripadna vremena T<sub>N</sub> za zadane N-ove. Mjerenja možete vršiti štopericom (dostatna će biti i ona na ručnom digitalnom satu; koristite pritom njenu tzv. `LAP' funkciju za mjerenje medjuvremena) ili računalom (morat ćete napisati mali programčić, npr. u QBASICu).

4.

Popunite ostale stupce tablice, tako da izvršite naznačene operacije. Npr. u trećem stupcu valja svaku vrijednost iz prvog stupca podijeliti sa m. Četvrti stupac ćete dobiti tako da od vrijednosti u trećem stupcu oduzmete broj 1. Zadnji stupac se dobiva dijeljenjem vrijednosti drugog stupca sa vrijednostima iz trećeg.

5.

Naizgled čudna procedura iz prošle točke nam omogučuje da izmjerene vrijednosti prikažemo grafički na razumljiviji i jednostavniji način. Podijelimo najprije izraz za T_N s (N/m):

$$\frac{T_N}{(N/m)} = \frac{\pi}{v_0} \left[ D + d\left( (N/m)-1 \right) \right]$$

Označimo li x=(N/m)-1 i y=T_N/(N/m), možemo pisati:

$$y = k\cdot x + l$$

gdje je $k=d\cdot (\pi/v_0)$ i $l=D\cdot (\pi/v_0)$. Kako je to jednadžba pravca, zaključujemo da bi parovi vrijednost iz zadnja dva stupca tablice trebali ležati na pravcu koeficijenta smjera k i odsječka l (x-koordinata će biti u četvrtom stupcu, a y-koordinata u petom).

6.

Nacrtajte x-y graf na milimetarskom papiru i unesite u njega (x, y) točke, tj. točke predstavljene četvrtim i petim stupcem tablice. Vrijednosti na osima grafa odaberite optimalno, tako da ga točke popune.

7.

Ako ste dobro mjerili vremena T_N, točke ucrtane na grafu bi trebale otprilike ležati na pravcu (`trebale bi pokazivati linearni trend'). Ipak, zbog nepreciznosti mjerenja, te točke ne leže striktno na jednom pravcu: uzmite trokut i uvjerite se da nije moguće s jednim pravcem `pokupiti' sve točke (ako ste zaista pažljivo mjerili, moguće je da vam zaista sve točke leže na pravcu).

8.

Sada na red dolazi ključni korak, koji smo prije spominjali, a kojim sistematski uzimamo u obzir sve izmjerene vrijednosti u svrhu odredjivanja nagiba k i odsječka l pravca. Povucite trokutom pravac koji `najbolje slijedi' nacrtane točke. Ako vam se koja točka nalazi daleko od pravca koji bi prolazio ostalim točkama, zanemarite je. Naime, ta točka je vjerojatno pogrešna, ili zbog krivog računa u tablici, ili ste je loše/krivo izmjerili.

9.

Nadjite l kao sjecište pravca s y osi. Kako je $l=D\cdot (\pi/v_0)$, odavde odmah dobivamo promjer kotačića u kazeti $D=l\cdot (v_0/\pi)$.

10.

Odaberite jednu proizvoljnu točku (x₂, y₂) s nacrtanog pravca na njegovom drugom kraju. Iz prošle točke znamo još jednu točku pravca: (x₁, y₁)=(0, l). Odavde možemo dobiti i koeficijent nagiba pravca:

$$k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{y_2-l}{x_2}$$

a iz njega i debljinu trake $d=k\cdot (v_0/\pi)$.

[ Primjer ]