Zadatak: 15. ODBIJANJE LOPTE OD PODLOGE



Svi znamo da se nogometna lopta ispuštena s visine H odbija od zemlje, te zbog gubljenja energije pri svakom dodiru sa tlom, nakon nekoliko odskoka stane. Jedan od načina da se to opiše jest da se uvede (fizikalni) model u kojem se pretpostavlja da su brzine tik prije i nakon udarca o tlo povezane. Npr., može se uzeti veza $v_{n+1}=\lambda v_n$. Ovdje smo s vn i vn+1 označili brzinu lopte neposredno prije i poslije udarca o tlo. $\lambda$ predstavlja faktor `gubitka' brzine ili kinetičke energije, te se njegova vrijednost nalazi u intervalu $0 \leq \lambda \leq 1$.

Slučaj $\lambda=1$ odgovara odbijanju bez gubitaka, tj. kako su brzine prije i poslije udarca o tlo jednake, skakanje lopte bi se trebalo nastaviti u nedogled. S druge strane, $\lambda=0$ će značiti da će lopta pasti na tlo i neće odskočiti.

Stoga očekujemo da će realna situacija biti opisana faktorom $\lambda$ izmedju 0 i 1.

Pretpostavimo sada da loptu ispuštamo s visine H=h0. Odredite slijedeće:

U zadatku zanemarite trenje lopte sa zrakom.
Napomena. Ovaj model se može provjeriti i eksperimentalno - vidi Zadatak XX.



Pomoć: Upotrijebite standardne izraze za okomiti hitac, tj. za slobodni pad. Za odredjivanje vn, hn i tn, raspišite nekoliko prvih za n=1,2,3 ... i uočite pravilnost. Takodjer, primjetimo da kako n postaje veći i veći, $\lambda^n$ postaje sve manje i manje (pod uvjetom da je $\lambda < 1$). U graničnom slučaju kada n ode u beskonačno, možemo uzeti da $\lambda^n$ ode u nulu.




[ Rješenje ]