Zadatak: 15. ODBIJANJE LOPTE OD PODLOGE

Svi znamo da se nogometna lopta ispuštena s visine H odbija od zemlje, te zbog gubljenja energije pri svakom dodiru sa tlom, nakon nekoliko odskoka stane. Jedan od načina da se to opiše jest da se uvede (fizikalni) model u kojem se pretpostavlja da su brzine tik prije i nakon udarca o tlo povezane. Npr., može se uzeti veza $v_{n+1}=\lambda v_n$. Ovdje smo s v_n i v_n+1 označili brzinu lopte neposredno prije i poslije udarca o tlo. $\lambda$ predstavlja faktor `gubitka' brzine ili kinetičke energije, te se njegova vrijednost nalazi u intervalu $0 \leq \lambda \leq 1$.

Slučaj $\lambda=1$ odgovara odbijanju bez gubitaka, tj. kako su brzine prije i poslije udarca o tlo jednake, skakanje lopte bi se trebalo nastaviti u nedogled. S druge strane, $\lambda=0$ će značiti da će lopta pasti na tlo i neće odskočiti.

Stoga očekujemo da će realna situacija biti opisana faktorom $\lambda$ izmedju 0 i 1.

Pretpostavimo sada da loptu ispuštamo s visine H=h₀. Odredite slijedeće:

• Nadjite brzinu v₀ neposredno prije udara o tlo i brzinu v₁ nakon udara o tlo.
• Nadjite brzine v₂, v₃, ... nakon drugog, trećeg, ... udara o tlo. Izrazite brzinu v_n nakon n udara lopte o tlo, pomoću osnovnih veličina h₀, g, $\lambda$ i n.
• Nadjite visinu h₁, h₂, ... koju lopta postiže nakon prvog, drugog, ... udara o tlo. Nadjite visinu h_n koju lopta postiže nakon n udara o tlo i izrazite je pomoću osnovnih veličina.
• Odredite vrijeme t₁, t₂, ... koje prodje izmedju prvog i drugog, drugog i trećeg, ... udara o tlo. Nadjite vrijeme t_n koje prodje izmedju n-tog i n+1-og udara o tlo i izrazite je pomoću osnovnih veličina.
• Uočite ovisnosti v_n, h_n i t_n o broju udara o tlo n - one su tipa $const.\times \lambda^n$. Skicirajte na grafu tu ovisnost: na apscisu nanesite n, a na ordinatu $\lambda^n$ za nekoliko vrijednosti $\lambda$ (npr. $\lambda = 3/4, 1/2, 1/4 ...$).
• Pomoću dobivenog izraza za t_n odredite vrijeme T_n potrebno za n odskoka lopte (računajući od puštanja lopte s visine h₀). Ovdje će vam trebati izraz za sumu geometrijskog niza:
  
  $$1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}=\frac{1-x^n}{1-x}$$
  
  

• Možete li pokazati da kada broj odskoka n teži u beskonačnost, ukupno vrijeme T_n teži u konačnu vrijednost T? Uočite da to znači, u okviru našeg modela, iako je broj odskoka beskonačan, lopta će se smiriti za konačno vrijeme.

U zadatku zanemarite trenje lopte sa zrakom.
Napomena. Ovaj model se može provjeriti i eksperimentalno - vidi Zadatak XX.

Pomoć: Upotrijebite standardne izraze za okomiti hitac, tj. za slobodni pad. Za odredjivanje v_n, h_n i t_n, raspišite nekoliko prvih za n=1,2,3 ... i uočite pravilnost. Takodjer, primjetimo da kako n postaje veći i veći, $\lambda^n$ postaje sve manje i manje (pod uvjetom da je $\lambda < 1$). U graničnom slučaju kada n ode u beskonačno, možemo uzeti da $\lambda^n$ ode u nulu.

[ Rješenje ]